地质力学学报  2019, Vol. 25 Issue (2): 240-248
引用本文
白雪元, 王学滨, 马冰, 芦伟男, 祝铭泽. 不同围压时含孔洞模型裂缝扩展的连续—非连续数值模拟[J]. 地质力学学报, 2019, 25(2): 240-248.
BAI Xueyuan, WANG Xuebin, MA Bing, LU Weinan, ZHU Mingze. SIMULATION OF THE CRACK PROPAGATION FOR THE MODEL WITH A HOLE UNDER DIFFERENT CONFINING PRESSURES BASED ON A CONTINUUM-DISCONTINUUM METHOD[J]. Journal of Geomechanics, 2019, 25(2): 240-248.
不同围压时含孔洞模型裂缝扩展的连续—非连续数值模拟
白雪元1 , 王学滨2 , 马冰1 , 芦伟男1 , 祝铭泽1     
1. 辽宁工程技术大学力学与工程学院, 辽宁 阜新 123000;
2. 辽宁工程技术大学计算力学研究所, 辽宁 阜新 123000
摘要:为了有效地模拟连续介质向非连续介质的转化,发展了一种拉格朗日元方法、变形体离散元方法及虚拟裂纹模型耦合且考虑四边形单元沿对角线开裂的连续—非连续方法。利用该方法,模拟了不同围压时含孔洞模型的变形—开裂过程,统计了拉裂缝及剪裂缝区段数目,监测了一些单元的最大主应力。研究结果表明:当围压较小时,初始拉裂缝首先出现在孔洞的顶、底部,然后向模型的上、下端扩展,在初始拉裂缝的左、右两侧的拉应力集中区中产生远场拉裂缝,随后在孔洞的左、右两侧出现剪裂缝,最后,剪裂缝贯穿模型;当围压较大时,远场拉裂缝数量较少,未充分发展,远场拉裂缝与剪裂缝的发展阶段的界限不分明。含孔洞模型的最大承载力的下降是由于孔洞左、右两侧的剪裂缝向外扩展造成的。随着围压的增加,开始出现初始拉裂缝的时步数目增大,初始拉裂缝两侧的远场拉裂缝数目变少、出现变晚。
关键词连续—非连续方法    含孔洞模型    远场裂缝    应力分布    变形—开裂过程    
DOI10.12090/j.issn.1006-6616.2019.25.02.023     文章编号:1006-6616(2019)02-0240-09
SIMULATION OF THE CRACK PROPAGATION FOR THE MODEL WITH A HOLE UNDER DIFFERENT CONFINING PRESSURES BASED ON A CONTINUUM-DISCONTINUUM METHOD
BAI Xueyuan1 , WANG Xuebin2 , MA Bing1 , LU Weinan1 , ZHU Mingze1     
1. College of Mechanics and Engineering, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, Liaoning, China;
2. Institute of Computational Mechanics, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, Liaoning, China
Abstract: To effectively simulate the transition process from continuum medium to discontinuum medium, a continuum-discontinuum method was developed, which is a combination of the Lagrangian element method, the deformational discrete element method and the fictitious crack method. In this method, the cracking along the diagonal line of the quadrilateral element is taken into consideration. Deformation-cracking processes of the models with a hole under different confining pressures were simulated through this method. The number of tensile and shear crack segments was calculated, and the maximum principal stresses for some elements were monitored. The following results are found. At the low confining pressure, the initial tensile cracks first appear at the roof and floor of the hole, and then they extend towards the top and bottom of the model respectively. At both sides of the initial tensile cracks, remote tensile cracks appear in tensile stress concentration zones, and then shear cracks appear at both sides of the hole; finally, shear cracks go through the model. At high confining pressure, few remote tensile cracks are found, and the dividing line between the stage of remote tensile crack propagation and the stage of shear crack propagation is not clear. The decrease of the maximum carrying capacity is due to shear crack propagation at the both sides of the hole. With an increase of the confining pressure, the number of timesteps of the initial tensile cracks increases, while that of the remote tensile cracks at both sides of the initial tensile cracks decreases and it takes more time for them to appear.
Key words: continuum-discontinuum method    model with a hole    remote crack    stress distribution    deformation-cracking process    
0 引言

在采矿、交通、水利及国防等工程中,开挖隧洞或巷道后将在岩体中形成孔洞。在载荷作用下,裂缝的起裂、扩展、贯通将导致孔洞周围岩体的破坏和失稳。因此,开展含孔洞模型的变形—开裂过程研究对一些灾害的预防具有重要意义。

Carter等[1]将单轴压缩条件下含孔洞模型中裂缝分为孔洞周边拉应力集中区中初始拉裂缝、孔洞周边压应力集中区中剪裂缝及远离孔洞的远场裂缝。宋义敏等[2]采用数字图像相关方法和声发射技术对含孔洞模型的破坏过程进行了研究,认为远场裂缝的产生主要是拉应变集中,即拉断裂为主、拉应力与压应力共同作用的结果。郭晓菲等[3]根据弹塑性理论,分析了不同侧压系数时含孔洞模型中塑性区分布,并给出了圆形、椭圆形、蝶形塑性区的判定准则。张纯旺等[4]采用FLAC3D软件研究了开挖半径对含孔洞模型中塑性区分布的影响,发现同一角度处的塑性区半径随孔洞半径的增加呈线性增加。黎崇金等[5]利用PFC2D软件研究了单轴压缩条件下含孔洞模型中裂缝的扩展过程,认为剪裂缝与远场拉裂缝共同导致了含孔洞模型的宏观破坏。

到目前为止,关于含孔洞模型中远场裂缝的数值模拟还比较少,而且多采用连续方法(例如FLAC等)或非连续方法(例如PFC等)。连续方法适合模拟连续介质的变形和破坏问题,仅能在一定程度上处理非连续问题;非连续方法适于模拟颗粒或块体的运动和接触问题,对于应力、应变的描述一般较为粗糙。为了模拟连续介质向非连续介质转化的过程,目前已发展了一些连续—非连续方法[6~7],它们兼具连续方法和非连续方法的优势。

在发展的一种拉格朗日元方法、变形体离散元方法及虚拟裂缝模型耦合的连续—非连续方法[8~11]的基础上进行了改进,考虑了裂缝沿四边形单元对角线扩展。利用改进的方法,来模拟不同围压时位移控制加载条件下含孔洞模型的变形—开裂过程,以获得不同围压时含孔洞模型的拉裂缝及剪裂缝区段数目和一些单元的最大主应力随时步数目的变化规律,研究围压的影响。

1 四边形单元对角线开裂的连续—非连续方法简介

改进的连续—非连续方法包含4个模块。

(1) 应力、应变模块

在每一个计算时步,利用高斯定理,求得单元的应变率,进而求得单元的应变增量(Δeij),再利用广义虎克定律求得单元的应力增量(Δσij):

$ \Delta {\sigma _{ij}} = {\delta _{ij}}\left( {K - \frac{2}{3}G} \right)\Delta {e_{kk}} + 2G\Delta {e_{ij}} $ (1)

公式中,K是体积模量,G是剪切模量,δij是Kronecker符号。

(2)节点分离模块

通过引入虚拟裂缝模型[12]模拟裂缝的萌生和扩展。首先,根据各节点周围单元的应力计算各节点的应力,分别采用最大主应力(σ3)准则和莫尔—库仑准则对节点是否分离进行判别。若节点的应力满足分离条件,将节点分离(假设模型中此前已存在裂缝区段1)(图 1a),即当节点A被分离成A′和A″后,将新增1个裂缝区段2(图 1b),该裂缝区段包括一对裂缝区段面ABAB。这样,1个四边形单元⑤将被劈裂成2个三角形单元⑤(保持四边形单元编号)和单元⑥。

①-⑥为单元编号 图 1 裂缝扩展示意图 Fig. 1 Schematic of crack propagation

然后,在裂缝区段面上施加法向黏聚力,同时,处理切向黏聚力。切向黏聚力—切向滑移量的关系与法向黏聚力—法向张开度的关系均呈线性关系[13]

应当指出,若节点的应力满足最大主应力准则发生分离,则裂缝区段为拉裂缝区段;若节点的应力满足莫尔-库仑准则发生分离,则裂缝区段为剪裂缝区段,此时,考虑了应力脆性跌落效应,对裂缝区段两侧的单元进行应力跌落,跌落时保持球应力不变[14]

还应当指出,若裂缝区段的法向张开度大于临界法向张开度或切向滑移量大于临界切向滑移量,则为真实裂缝区段,否则为虚拟裂缝区段。下文中均为虚拟裂缝区段,简称为裂缝区段。

(3) 接触力求解模块

引入基于势的接触力计算方法[15]求解单元之间的接触问题,以方便地解决角—角接触问题。

(4) 运动方程求解模块

利用中心差分法获得节点的速度,进而求得节点的位移。

2 计算模型及参数

含孔洞模型(简称模型)的边长为0.1 m,厚度为单位1 m,孔洞的直径为0.03 m,模型被剖分成6202个四边形单元,在模型下端面的节点上施加竖向约束,在模型上端面的节点上施加竖直向下的速度v,速度的大小为0.05 m/s,在模型的左、右两侧面施加围压p(图 2)。在平面应变、大变形条件下进行计算。

图 2 模型的边界条件 Fig. 2 Boundary conditions of the model

计算参数如下:面密度为2700 kg/m2,局部自适应阻尼系数为0.2,弹性模量为3.5 GPa,泊松比为0.2,抗拉强度为2.0 MPa,黏聚力为10 MPa(此黏聚力为抗剪强度参数,出现在莫尔—库仑强度准则中,不同于施加在虚拟裂缝区段面上的法向黏聚力及切向黏聚力),内摩擦角为30°,Ⅰ型断裂能Gf1为50 N/m,Ⅱ型断裂能Gf2为2000 N/m,应力跌落系数为0.25(应力跌落后莫尔应力圆的半径与应力跌落前莫尔应力圆半径的比值),此时,Ⅱ型断裂能的影响较小,法向刚度Kn为100 GPa,时间步长Δt为1.83746×10-8s。

为了研究围压p的影响,采用了3个计算方案,方案1—方案3中p分别为0 MPa、1 MPa及2 MPa。在模型中设置了5个监测单元,监测单元1—5的位置见图 2。监测单元1—3用于监测初始裂缝扩展,监测单元4、5用于监测远场拉裂缝扩展。

3 计算结果分析 3.1 方案1的变形—开裂过程

方案1的最大主应力(σ3)及裂缝的时空分布见图 3,其中黑色线段为拉裂缝区段,白色线段为剪裂缝区段。可以发现,在加载初期,σ3集中于孔洞的顶、底部(图 3a)。当时步数目为32000时,在孔洞顶、底部已出现初始拉裂缝,并在初始拉裂缝的左、右两侧出现4个σ3集中区(图 3b)。随后,在这4个σ3集中区中出现远场拉裂缝(图 3c)。继续加载,远场拉裂缝的数目增多,在孔洞左、右两侧出现少量剪裂缝(图 3d)。随后,孔洞左、右两侧的剪裂缝分别向模型的左上角和右下角扩展,直至贯穿模型(图 3e3f)。

图 3 方案1的最大主应力及裂缝的时空分布 Fig. 3 Spatiotemporal distributions of σ3 and cracks in scheme 1

方案1的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目随时步数目的变化规律见图 4,其中,应力为模型上端面加载点的竖向力之和与模型上端面积(边长×厚度)的比值。应当指出,由于在模型的上端面进行位移控制加载,所以上端面的竖向位移与时步数目一一对应。

①-④分别为第1、2、3增加阶段与恒定阶段;
①’-③’分别为第1、2增加阶段与恒定阶段
图 4 方案1的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目—时步数目曲线 Fig. 4 Evolution of the stress, the number of tensile crack segments, the number of shear crack segments with timesteps in scheme 1

由方案1的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目随时步数目的变化规律(图 4)可以发现以下规律。

(1) 应力—时步数目曲线包括近似线性阶段(时步数目小于50000)、硬化阶段(时步数目在50000~68000之间)、峰后软化阶段(时步数目在68000~72000之间)及残余阶段(时步数目大于72000)。拉裂缝区段数目—时步数目曲线中阶段①—③的时步数目分别在8000~38000、38000~68000及68000~72000之间,阶段④的时步数目大于72000。剪裂缝区段数目—时步数目曲线中阶段①′、②′的时步数目分别在50000~68000及68000~72000之间,阶段③′的时步数目大于72000。

(2) 在应力—时步数目曲线的近似线性阶段,模型中已出现了一些拉裂缝(例如当时步数目为40000时,拉裂缝区段数目约为200(图 4),结合图 3c可知,拉裂缝为孔洞顶、底部的初始拉裂缝及远场拉裂缝);在阶段①,拉裂缝区段数目的增速较慢,结合图 3a3c可知,此阶段主要对应于初始拉裂缝扩展;当时步数目在38000~50000之间时,拉裂缝区段数目的增速快于阶段①,结合图 3b3d可知,此阶段主要对应于远场拉裂缝扩展。

(3) 在应力—时步数目曲线的硬化阶段,拉裂缝区段数目的增速与时步数目在38000~50000之间时的接近,此硬化阶段主要对应于远场拉裂缝扩展,同时此硬化阶段还对应于阶段①′,主要表现为孔洞左、右两侧剪裂缝扩展。

(4) 在应力—时步数目曲线的峰后软化阶段,拉裂缝及剪裂缝区段数目的增速大于这两条曲线其他阶段的,结合图 3e3f可知,此阶段主要对应于孔洞左、右两侧的剪裂缝分别向模型左上角及右下角扩展,增加的拉裂缝区段主要位于这些新增的剪裂缝附近。

(5) 在应力—时步数目曲线的残余阶段,拉裂缝及剪裂缝区段数目基本不变,模型左上、右下两部分之间发生相对滑动(图 3f)。

由方案1的监测单元1~3的应力—时步数目曲线(图 5a)可以发现,当时步数目约为10000时,监测单元1的σ3出现震荡,随后呈近似线性下降。这表明监测单元1附近出现了初始拉裂缝。当时步数目约为22000时,监测单元2的σ3出现震荡,随后,呈近似线性下降。这表明监测单元2附近出现了初始拉裂缝。当时步数目约为68000时,监测单元1~3的σ3均开始快速下降。

图 5 方案1的不同监测单元的最大主应力—时步数目曲线 Fig. 5 Relationships between σ3 and timesteps indifferent monitored elements in scheme 1

由方案1监测单元4、5的应力—时步数目曲线(图 5b)可以发现,当时步数目约为38000时,监测单元4、5的σ3出现震荡,随后这两条曲线发生分离。这表明监测单元4、5附近出现了远场拉裂缝。当时步数目约为68000时,监测单元4、5的σ3均开始快速下降。

3.2 方案2—方案3的变形—开裂过程

由方案1—方案3的最大主应力及裂缝的时空分布(图 3图 6图 7)可以发现,方案2的变形—开裂过程与方案1的基本类似,裂缝扩展过程主要为:孔洞顶、底部的初始拉裂缝扩展;初始拉裂缝左、右两侧的远场拉裂缝扩展;孔洞左、右两侧的剪裂缝分别向模型左上角及右下角扩展。对于方案3,初始拉裂缝左、右两侧的远场拉裂缝扩展与孔洞左、右两侧的剪裂缝分别向模型左上角及右下角扩展的界限不明显。

图 6 方案2的最大主应力及裂缝的时空分布 Fig. 6 Spatiotemporal distributions of σ3 and cracks in scheme 2

图 7 方案3的最大主应力及裂缝的时空分布 Fig. 7 Spatiotemporal distributions of σ3 and cracks in scheme 3

由方案2的最大主应力及裂缝的时空分布(图 6)及方案2的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目随时步数目的变化规律(图 8)可以发现:

①-④分别为第1-第3增加阶段与恒定阶段;
①’-③’分别为第1-第2个增加阶段及恒定阶段
图 8 方案2的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目—时步数目曲线 Fig. 8 Evolution of the stress, the number of tensile crack segments, the number of shear crack segments with timesteps in scheme 2

(1) 应力—时步数目曲线包括近似线性阶段、硬化阶段、峰后软化阶段及残余阶段。

(2) 阶段①—③(时步数目分别在23000~56000、56000~68000及68000~76000之间)分别主要对应于孔洞顶、底部初始拉裂缝扩展(图 6b)、远场拉裂缝扩展(图 6c)及孔洞左、右两侧分别向模型左上角和右下角扩展的剪裂缝附近的拉裂缝扩展(图 6d6e)。

(3) 阶段①′—②′(时步数目分别在50000~72000及72000~76000之间)分别主要对应于孔洞左、右两侧的剪裂缝扩展(图 6b)及孔洞左、右两侧的剪裂缝分别向模型左上角和右下角扩展(图 6d6e)。

由方案3的最大主应力及裂缝的时空分布(图 7)及方案3的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目随时步数目的变化规律(图 9)可以发现:

①、②-③及④分别为第1-第2增加阶段及恒定阶段;
①’-③’分别为第1-第2个增加阶段及恒定阶段
图 9 方案3的应力、拉裂缝及剪裂缝区段数目—时步数目曲线 Fig. 9 Evolution of the stress, the number of tensile crack segments, the number of shear crack segments with timesteps in scheme 3

(1) 应力—时步数目曲线包括近似线性阶段、硬化阶段、峰后软化阶段及残余阶段。

(2) 阶段①及②—③(时步数目分别在38000~80000、80000~90000之间)分别对应于孔洞顶、底部的初始拉裂缝扩展(图 7c)、远场拉裂缝及孔洞左、右两侧分别向模型左上角和右下角扩展的剪裂缝附近的拉裂缝扩展(图 7e7f)。

(3) 阶段①′及②′(时步数目分别在45000~80000及80000~90000之间)分别主要对应于孔洞左、右两侧剪裂缝扩展(图 7c7d)及孔洞左、右侧的剪裂缝分别向模型左上角及右下角扩展(图 7e7f)。

3.3 围压对裂缝扩展的影响

由方案1—方案3的应力—时步数目曲线(图 10)可以发现,随着围压的增加,应力—时步数目曲线的峰值增大,峰值对应的时步数目增大,残余应力增大。

图 10 不同围压时应力—时步数目曲线 Fig. 10 Evolution of the stresses and timesteps at different confining pressures

由方案1—方案3的拉裂缝区段数目—时步数目曲线(图 11)可以发现:

图 11 不同围压时拉裂缝区段数目—时步数目曲线 Fig. 11 Evolution of the number of tensile crack segments with timesteps at different confining pressures

(1) 随着围压的增加,出现拉裂缝的时步数目增大,阶段①变长。这说明围压阻碍了初始拉裂缝扩展。

(2) 随着围压的增加,远场拉裂缝区段数目变少。方案1及方案2的阶段②增加的拉裂缝区段数目分别约为900及300;而方案3的阶段②增加的拉裂缝区段数目较少(图 7e),阶段②与阶段③的界限不明显。这说明围压阻碍了远场拉裂缝扩展。

(3) 随着围压的增加,在阶段④,拉裂缝区段数目变少。

由方案1—方案3的剪裂缝区段数目—时步数目曲线(图 12)可以发现:

图 12 不同围压时剪裂缝区段数目—时步数目曲线 Fig. 12 Evolution of the number of shear crack segments and timesteps at different confining pressures

(1) 随着围压的增加,阶段①′有变长趋势,阶段②′开始的时步数目增大。

(2) 随着围压的增加,在阶段③′, 剪裂缝区段数目有增大趋势。

由方案1—方案3的监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线(图 5b图 13)可以发现:

图 13 方案2—方案3的监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线 Fig. 13 Evolution of σ3 with timesteps for monitored elements 4 and 5 in schemes 2 and 3

(1) 监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线出现震荡与拉裂缝区段数目—时步数目曲线(图 11)的阶段②开始的时步数目接近(例如方案2的监测单元4、5的σ3—时步数目曲线出现震荡与拉裂缝区段数目—时步数目曲线的阶段②开始的时步数目均约为56000)。

(2) 随着围压的增加,监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线出现震荡的时步数目增大。这说明,随着围压的增加,出现远场拉裂缝的时步数目增大。

(3) 对于方案1—方案2,在剪裂缝区段数目—时步数目曲线(图 12)的阶段②′开始时,监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线开始出现快速下降(例如方案2的剪裂缝区段数目—时步数目曲线的阶段②′开始与监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线开始快速下降的时步数目均约为72000)。

(4) 对于方案3,监测单元5的最大主应力—时步数目曲线出现2次快速下降,结合图 7e7f可知,这2次快速下降分别主要对应于孔洞右侧剪裂缝向模型右下角扩展和孔洞左侧剪裂缝向模型左上角扩展。而监测单元4的最大主应力—时步数目曲线出现1次快速下降,此快速下降对应于孔洞左侧剪裂缝开始向模型左上角扩展。

(5) 随着围压的增加,监测单元4、5的最大主应力—时步数目曲线出现快速下降的时步数目增大(例如在方案2中,监测单元4、5出现快速下降的时步数目均约为72000;在方案3中,监测单元4、5出现快速下降的时步数目分别约为80000和88000)。这表明,随着围压的增加,孔洞左、右两侧剪裂缝分别开始向模型的左上角及右下角扩展变晚。

4 结论

在发展的一种拉格朗日元方法、变形体离散元方法及虚拟裂缝模型耦合的连续—非连续方法的基础上进行了改进,考虑了裂缝沿四边形单元对角线扩展。利用改进的方法,模拟了不同围压时位移控制加载条件下含孔洞模型的变形—开裂过程。得到以下结果:

(1) 当围压较小时,初始拉裂缝首先出现在孔洞的顶、底部;随后向模型的上、下端扩展,在初始拉裂缝的左、右两侧的拉应力集中区中产生远场拉裂缝;然后,在孔洞的左、右两侧出现剪裂缝;最后,剪裂缝贯穿模型。当围压较大时,远场拉裂缝数量较少,远场拉裂缝未充分发展,远场拉裂缝与剪裂缝的发展阶段的界限不分明。

(2) 含孔洞模型的最大承载力的下降是由于孔洞左、右两侧的剪裂缝向外扩展造成的。

(3) 随着围压的增加,开始出现拉裂缝的时步数目增大;初始拉裂缝两侧的远场拉裂缝数目变少、出现变晚;在恒定阶段,剪裂缝的数目有增大趋势。

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